数理逻辑导论

什么是命题逻辑

1. 命题是包含真假的语句，如：
   1. 北京是中国的首都。
   2. 2 + 2 = 4。
2. 不是所有的语句都是命题，如：
   1. 今天是星期几？
   2. 请同学们把书翻到 27 页？
   3. 终于完成了作业。
3. 命题可以分为：
   1. 简单命题。不能继续再分的命题是简单命题。
   2. 复杂命题。复杂命题是由简单命题合成的命题。如 2+2 = 4。
   3. 命题分解：
      1. 并非 2 + 4 = 8.
         1. 2 + 4 = 8.
      2. 万物的本源或者是水，或者不是水。
         1. 万物的本源是水。
         2. 万物的本源不是水。
   4. 命题也可以分为模态命题和非模态命题。
      1. 模态命题包括
         1. 必然、可能、应当、相信、或许等。

联词

1. 并非 ¬ 否定符号
2. 并且 ∧ 合取符号
3. 或者 ∨ 析取符号
4. 如果 → 蕴含符号
5. 那么 ↔ 双蕴含符号

|Propositional Logic||
|¬|$\neg$|
|→|$\rightarrow$|
|↔|$\leftrightarrow$|
|∨|$\vee$|
|∧|$\wedge$|
|⊢|$\vdash$|
|⊣|$\dashv$|

推理

推理事例

1. 如果贼是从窗户进来的，那么花坛上会有脚印
   花坛上没有脚印

所以贼不是从窗户进来的。

2. 如果企鹅是鸟，那么企鹅是动物。 企鹅不是动物

企鹅不是鸟。

3. 如果 p，那么 q。 并非 q。

所以，并非 p。

推理 1 和推理 2 都被认为是有效的，即使推理 2 的结论是假的，但是因为其论证形式，也就是推理 3 是有效的，故而推理 2 也是有效的。推理都是通过联词来进行的。 而命题的真与假和逻辑形式本身是无关的，逻辑学的推理形式不关心命题的具体内容，其关键在于找寻有效的推理形式。